正多角形から円周率πを求める計算  No.1

こんにちは、円周率πは皆さんおなじみの数ですね。正多角形を計算して円周率πを最初に求めたのはギリシャの数学者アルキメデスで、円に内接する正6、12、24、48、96角形を計算して、3と10/71 すなわち約3.1408と求めたと言われています。これに習って、正多角形から円周率を求める計算をしてみましょう。計算する方法は円周率を正多角形の辺の長さの和から求める方法で、多角形を正4角形(正方形)、正8角形、正16角形、正32角形、・・・・ と順次増やして行き、正2n角形の辺の長さdnを求め、円周の長さ2πを2ndnと近似して計算します。
(計算方法)
図1は正2n角形の一部を示した図で、ABが正2n角形の一辺を表しています。正2n角形の辺ABの長さをdnとします。辺ABを2等分する点Hと円の中心Oを通る半径OCで円弧OABを2等分して新たな正2n+1角形を作ると、辺ACはその一辺となり長さはdn+1となります。そこで、dnを与えてdn+1を求める式を計算することができます。ちなみにこのような式を漸化式と言います。
図1よりピタゴラスの定理を使うと、次の式が求まります。
a2 + ( dn/2 )2 = 1
∴ a = √{1− ( dn /2 )2}
b = 1−a = 1−√{1−( dn /2 )2}
また、dn+1は、
( dn +1 )2 = b2 +( dn /2 )2
∴ dn+1 = √{b2 +( dn /2 )2}
となり、これらから
b2 = [1−√{1−( dn /2 )2}]2
= 2−( dn /2 )2−2√{1−( dn /2 )2}
b2+( dn /2 )2 = 2−2√{1−( dn /2 )2}
∴ dn+1 = √[2−2√{1−( dn /2 )2}]
とdn+1がdnを使って求められました。
ところで半径1の円に内接する正4角形の1辺の長さは√2ですから、 d2 = √2
dn+1 = √[ 2−2√{1−( dn /2 )2}]
そこで、d2から繰り返し上の式を適用すると順番にd3,d4,d5,・・・・,dnが求められます。正2n角形の1辺の長さdnが求まったので、円周2πの近似式が下のように求まります。
 2π ≒ 2n dn
∴ π ≒ 2n dn/2

 π(円周率)を計算してみよう
図12n角形の一部を示した図